Matematikblogg åk 9: mars 2018

söndag 18 mars 2018

Räta linjens ekvation, grafer, koordinater samt origo

Nu när ni vet hur man ritar upp ett koordinatsystem, med en X-axel horisontellt med pil åt höger, en Y-axel lodrätt med pil uppåt, två rutor i ditt häfte är ett värdesteg på axlarna, samt att det finns fyra olika kvadranter, så är det nu dags att sätta ihop olika punkter, koordinater, till en linje - en graf. Man uttrycker koordinater genom att säga X-värdet först, och sedan Y-värdet i en parantes (x, y).

Den gröna grafen har funktionen Y=2*X. Det betyder att, för varje X kommer Y-värdet att öka dubbelt. 1 st X är lika mycket som 2 Y. När X är 1 är Y 2. När X är 2, är Y 4. När X är 3, är Y 6. Hela tiden tar man X-värdet multiplicerat med 2 för att få fram Y-värdet. OCH - viktigt - när X är 0, då är Y också 0. För 2 * 0 = 0. Man säger att "grafen skär y-axeln i origo (punkten (0,0)).

Om vi skriver ner dessa tre koordinater (punkter) som vi provat med (att x är 1, 2 och 3) får vi följande: (1, 2), (2, 4) och (3, 6). Ni ser dessa värden även i Värdetabellen som finns på bilden till höger här nedan.

En annan linje som har samma lutning, och kanske samma förhållande mellan X och Y verkar ju vara den röda grafen, med funktionen y = 2x - 2. Vad skiljer 2x-2 från 2x? (röd graf jämfört med grön).
Sätt in x = 1 i formeln ---> y = 2*1 - 2 ger y = 0. Hmm... Ok, sätt in att x = 2 ---> y = 2*2 - 2
Då blir y värt 4 - 2 = 2.
Om x = 3 får vi y = 2*3 - 2, vilket blir 4.
Vi har nu tre olika koordinater på röd graf, (1,0), (2, 2) och (3, 4).

Vi ser att om vi jämför dessa tre koordinater med de tre från grön graf, så ökar visserligen y-värdet med 2 (2, till 4, till 6 jämfört med 0 till 2 till 4), för varje x-värde, men det är nåt som inte stämmer. VAR SKÄR GRAFERNA Y-AXELN?

För att ta reda på det måste vi hitta punkten på y-axeln, och det är ju när x=0.

Så vi sätter in x = 0 i grön först ---> y = 2*0 ger y = 0
Sedan x = 0 i röd ---> y = 2*0 - 2 ger y = -2

Titta nu på graferna igen. Ser ni vad vi kommit fram till?
Att när två grafer har samma lutning (i detta fall 2 - för varje steg i x-led ökar vi 2 i y-led), är de parallella. MEN, de har ej samma funktion helt och hållet, för i grön saknas m-värdet (eller det är 0), medan i röd så är m-värdet -2. Dvs, m-värdet talar om var på y-axeln som grafen korsar den.

Så när man bygger en funktion av en graf så jobbar man efter formeln y = k*x + m
Där k = lutningen, dvs så mycket som y ändras för ett steg i x-led.
m = punkten på y-axeln där linjen skär igenom.
x och y kan ju variera, man säger att "y beror av x", dvs y varierar i värde beroede av vilket värde du väljer för x.

Om jag testar att i grön graf (y = 2*x) välja att x = 5, vilket värde får jag då på y? Jag ersätter x med värdet 5 och räknar ut det: y = 2*5, vilket ger mig y = 10. Alltså vet jag att när x=5 är y=10.
Jämför med om ett tuggummi kostar 2 kr/st(x). Jag köper 5 st. Priset (y) blir då 2*5 = 10 kr.